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HëllRÆZØR
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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!
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![[*]](images/c0re/default_icon.gif) Verfasst am: 18.9.2006 um 16:43 |
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Der Mathe-Thread
So, ich mach mal 'nen allgemeinen Mathe-Thread auf.
...und direkt schonmal meine erste Frage, die mir aber wahrscheinlich sowieso keiner beantworten kann:
Wenn ich einen ganzzahligen Restklassenring modulo m habe, dann gibt es zu jedem zu m teilerfremden Element x ein (eindeutiges) multiplikatives
Inververses x', d.h. es gilt (x * x') mod m = 1.
Meine Frage lautet nun, ob es eine allgemeine (sinnvolle) Formel gibt, um dieses Inverse x' zu bestimmen. Natürlich kann man eine Summe über dem
Term k * 0^((x * k - 1) mod m) bilden, wobei k alle zu m teilerfremden Werte von 1 bis m - 1 durchläuft, aber das entspricht ja bloß dem
Durchprobieren aller Möglichkeiten, und keiner direkten Berechnung.
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Jack
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| Verfasst am: 18.9.2006 um 21:27 |
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hä? sonst noch Probleme?
da lass ich mal mathematikern den Vortritt, hab über irgendwas mit modulo meine Facharbeit in Mathe gemacht, hab aber alles wieder vergessen. Ehrlich
gesagt versteh ich die Frage nicht mal mehr. Hmm, das heisst doch du hast ein x was m nicht teilen kann ohne rest. Und die Aussage ist, dass
m/(x*x')= y +1 wobei y irgendeine ganze Zahl ist?
dann ist x' also: x' = m/(x*(y+1)), hm, das heisst, es gibt nicht nur eine Lösung für x', nehmen wir mal die erstbeste y=1, dann wäre
x'=m/(2*x)
Tja, für das, dass ich nicht verstanden hab worums geht, hab ich zumindest eine Lösung produziert die sich gar nicht so dumm anhört, meiner Meinung
nach *grins*
Liebe Grüsse
Jack
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Ina
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| Verfasst am: 18.9.2006 um 22:32 |
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Ich nehme nicht an, dass es da eine allgemeine griffige Formel gibt (würde mich aber gerne eines Besseren belehren lassen). Bin nicht so der
Spezialist für Zahlentheorie, aber ne Kanone für diesen Spatz(?) hätte ich mal (frisch ausm Bronstein :D )
Mithilfe des Euklidischen Algorithmus lässt sich nämlich die 1 als Linearkombination (mit ganzzahligen Koeffizienten) von x und m schreiben und
damit ist man im Wesentlichen fertig.
Dazu lässt man erstmal den Euklidischen Algorithmus auf x,m los, bis der 1-Summand dasteht.
(z.B. m=100, x=21:
100 = 21*4 + 16
21 = 16*1 + 5
16 = 5*3 + 1 )
Nun das Ganze wieder "zurückauflösen", bis 1 als Linearkombi von x und m dasteht.
(im Beispiel:
1 = 16 - 5*3 = (100 - 21*4) - (21 - 16)*3 =
= 100 - 21*4 - 21*3 + (100 - 21*4)*3 =
= 100*4 - 21*19 =
= 4*m - 21*x )
Der Koeffizient k vor x erfüllt nun kx mod m = 1.
x' ist die Zahl zwischen 0 und m, die zu k kongruent modulo m ist (also hier -19 + 100 = 81)
Wenn m groß genug ist, dürfte das schneller gehen als Ausprobieren und wenigstens ist es wunderbar theoretisch 
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HëllRÆZØR
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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 00:58 |
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Vielen Dank, Maria! :62:
Ich muss mir den zweiten Teil des Verfahrens nochmal genau ansehen, aber die Grundzüge habe ich glaube ich soweit verstanden (geniale Idee den
Euklidischen Algorithmus zur ggT-Berechnung zu verwenden, da man wegen teilerfremden m und x bei 1 ankommt, alle Achtung!). Bei der letzten Zeile
müsste aber dann "= 4*m - 19*x" stehen, nachdem du x eingesetzt hast, aber das Ergebnis hattest du ja am Schluss trotzdem raus.
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HëllRÆZØR
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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 01:38 |
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So, dann probier ich's mal selbst:
m = 53, x = 31
53 = 31 + 22
31 = 22 + 9
22 = 9*2 + 4
9 = 4*2 + 1
1 = 9 - 4*2 = (31 - 22) - (22 - 9*2)*2
= 31 - 22*3 + (31 - 22)*4 = 31*5 - 22*7
= 31*5 - (53 - 31)*7 = 31*12 - 53*7
...also 12 * 31 - 7 * 53 = 1. Wunderbar, somit entsprechen 12 Quinten (Verhältnis 3/2, etwa 2^(31/53) ) minus 7 Oktaven (2/1 oder 2^(53/53) ) einem
pythagoreischen Komma (3^12/2^19, etwa 2^(1/53) ), also so wie es sein soll. :D
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Ina
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Motto: Kein Motto
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 08:33 |
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Ok *g*
| Zitat | | geniale Idee den Euklidischen Algorithmus zur ggT-Berechnung zu verwenden, da man wegen teilerfremden m und x bei 1
ankommt |
Ja gell, fand ich auch
Nee, die Idee ist natürlich nicht von mir, sondern aus der Formelsammlung, die haben da ein Lösungsverfahren für "lineare Diophantische
Gleichungen in 2 Unbekannten" drin, das ist genau dieses Zeug.
Ich wusste bis gestern bloß, dass diese Restklassenmengen modulo m ein Körper sind, wenn m ne Primzahl ist. Das reichte, um deine Frage zu
verstehen, aber sonst für nix. Ich kannte ehrlichgesagt nichtmal den Euklidischen Algorithmus.
Doch ich hab ein gutes Verhältnis zu meiner Formelsammlung, denn dank der brauch ich nix zu wissen, und im Gegensatz zu anderen Bibeln erschließt
sich einem sogar was, wenn man ne Zeitlang drüber meditiert :D
| Zitat | | Bei der letzten Zeile müsste aber dann "= 4*m - 19*x" stehen |
Öh, ja
Aufm Zettel stand es noch richtig, Digitalisierung ist böse.
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HëllRÆZØR
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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 15:45 |
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| Zitat | Original von Maria
Ich wusste bis gestern bloß, dass diese Restklassenmengen modulo m ein Körper sind, wenn m ne Primzahl ist. |
Ja, genau. Das liegt daran, dass ein Element x genau dann ein multiplikatives Inverses besitzt, wenn es teilerfremd zu m ist. Ist m eine Primzahl,
dann sind alle Elemente (außer m bzw. 0) teilerfremd zu m und besitzen ein multiplikatives Inverses, was die entscheidende Voraussetzung ist ob es
sich nun um einen Körper handelt oder nicht. Wählt man nun für m eine nicht-Primzahl (etwa 12), dann kann man aber trotzdem zu den teilerfremden
Elementen (1, 5, 7, 11) multiplikative Inverse finden (in diesem Fall sind die Elemente zu sich selbst invers), auch wenn man keinen Körper vorliegen
hat.
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MAUS
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Motto: Too old to die young
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 17:24 |
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*g* ohje eindeutig nicht mein thread, aber trotzdem viel spaß
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quaid
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Motto: their law
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| Verfasst am: 19.9.2006 um 20:38 |
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dito ^^
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...
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| Verfasst am: 20.9.2006 um 03:19 |
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Die Formelsammlung für Lösungsverfahren für Diophantische Gleichungen in 2 Unbekannten würden mich mal interessieren.
Was kann man denn damit noch so alles machen, @Maria?
Das hört sich spannend an, obwohl ich auch zugebe, dass inversive Elemente nicht gerade so mein Geschmack sind.
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Ina
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Motto: Kein Motto
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| Verfasst am: 20.9.2006 um 09:46 |
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Ach das ist bloß das "Taschenbuch der Mathematik" vom Herrn Bronstein und ein paar anderen, so eine Standard-Mathe-Formelsammlung, da steht so
ziemlich alles drin, kannst du dir in jeder Uni-Bibliothek oder -Buchhandlung anschauen (hyperreelle Zahlen hab ich allerdings nicht drin gefunden,
drum war ich da so hilflos - *lol* du hast ja ne neue Signatur @Arne).
Die "Linearen Diophantischen Gleichungen" stehen da auf 2 Seiten.
Wenn dich das echt interessiert, solltest du dir aber besser ein richtiges Lehrbuch zu dem Thema zulegen, ne Formelsammlung taugt gut zum Nachschlagen
(ich hätte das Ding echt gerne schon in der Oberstufe gehabt, dann hätte ich so scheiß Hausaufgabenintegrale nicht von Hand ausrechnen müssen)
aber um was Neues zu lernen, ist das ganze schon arg kompakt.
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...
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 03:44 |
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Muss´ich mal schauen, wenn ich wieder Geld hab´.
Bei uns in der Oberstufe gab es auch nur so ´ne primitive Formelsammlung, selbst bei Mathe -LK, mit der man wenig anfangen konnte, für Analysis
ziemlich ungeeignet und das, was da drinstand, hattest Du auch, zumindest, wenn man Mathe - LK hatte, im Kopp.
Ich glaub´, ich hab´das Ding irgendwann mal verloren.
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Ina
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Motto: Kein Motto
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 09:48 |
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Schau dir das Teil lieber irgendwo an, bevor du es kaufst. Das ist schon arg mathematisch, wenn du das Ding verstehst, ohne wenigstens ein paar
Semester durch die Mathemühle gegangen zu sein, dann Respekt.
Ansonsten kannst du da höchstens ne surreale Tapete draus machen und die dürftest du woanders billiger kriegen.
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hopeless
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 14:11 |
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oder es wird das höhnischste toilettenpapier aller zeiten kurz vor "der
alte mann und das meer" und der kulturseite der tageszeitung..
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HëllRÆZØR
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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 14:28 |
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W(a^2 + b^2) = WC^2 (folgt aus Pitagyros)
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Ina
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Motto: Kein Motto
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 19:04 |
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Da eignen sich wahrscheinlich so ältere Auflagen besser, da war das Papier noch schön dünn.
Edit:
ich habs getestet. Taugt echt nix.
a) das Zeug kratzt,
b) das Papier ist verdammt schlecht saugfähig
c) es geht fast nicht unter, da muss man ewig spülen
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HëllRÆZØR
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| Verfasst am: 21.9.2006 um 21:24 |
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Dann hatte hopeless ja Recht mit dem "höhnischsten Toilettenpapier aller Zeiten"
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...
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| Verfasst am: 22.9.2006 um 03:23 |
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Ich hab´noch ´ne alte Lutherbibel. Die ist auch aus so dünnen Papier. Vielleicht geht es damit besser!
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HëllRÆZØR
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| Verfasst am: 22.9.2006 um 16:09 |
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Die Lutherbibel hat aber mit Mathe nix zu tun ^^
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...
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| Verfasst am: 23.9.2006 um 03:46 |
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Oh, da empfehle ich Dir aber mal Studien zur Abraham Abulafia!
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HëllRÆZØR
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| Verfasst am: 12.1.2007 um 04:33 |
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Als ich mich im Illuminaten-Thread durch die Links geklickt habe bin ich auf die Sophie-Germain-Primzahlen gestoßen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sophie-Germain-Primzahl
Es handelt sich also um Primzahlen p, bei denen auch 2p + 1 eine Primzahl ist.
Ein paar dieser Zahlen kamen mir dabei bekannt vor:
Wenn man für den Dezimalwert 1.5 Annäherungen der Form 2^(p / q) sucht* (p, q Element N) ergeben sich für q folgende Werte (q von 1 bis 10000):
1, 2, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, 253, 306, 359, 665, 8286, 8951, 9616
* Spielt eine Rolle bei musikalischen Stimmungen
Dabei handelt es sich bei folgenden um Sophie-Germain-Primzahlen:
2, 5, 29, 41, 53, 359, 8951
Produkte aus Sophie-Germain-Primzahlen:
200 = 2^3 * 5^2, 253 = 11 * 23
Weiß jemand warum das so viele sind (es gibt nur 190 im Bereich von 1-10000), und ob es da einen Zusammenhang gibt? Wahrscheinlich ist's bloß etwas
ganz banales ^^
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P.S.: Die Brüche p / q lauten:
1/2, 3/5, 4/7, 7/12, 17/29, 24/41, 31/53, 117/200, 148/253, 179/306, 210/359, 389/665, 4847/8286, 5236/8951, 5625/9616
Wobei 2^(p / q) sich an 1.5 (= 3/2, Stimmungsverhältnis der reinen Quinte in der Musik) annähert.
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Ina
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| Verfasst am: 14.1.2007 um 22:40 |
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Ich weiß nicht genau, wie weit fortgeschritten meine Verblödung schon ist, aber mir kommt das nichttrivial vor.
Klar, vielleicht brauchts auch nur den richtigen Gedanken.
Haste schon in nem richtigen Mathe-Forum gefragt?
Oder es mittlerweile selber rausgekriegt?
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HëllRÆZØR
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| Verfasst am: 15.1.2007 um 00:01 |
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Hm, ich denke ich werd' mich mal bei Mathe-Planet anmelden.
...und nein, ich habe nicht die geringste Idee für eine Erklärung! Aber gerade in solchen Situationen kriegt man ja oft 'ne banale Erklärung
geliefert, wenn man nachfragt ^^
Edit:
[QUOTE]Neuanmeldungen sind möglich
nur Montags bis Samstags von 7:00 bis 21:59
Wir bitten darum, daß Sie zu einer der genannten Zeiten wiederkommen,
wenn Sie sich neu registrieren möchten.[/QUOTE]
Aaaaaaargh!!! Und sowas im Internet! :20:
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Ina
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| Verfasst am: 15.1.2007 um 00:36 |
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*lol*
die haben wohl angst, dass unqualifizierte Kunstbanausen ihr schönes Forum über Nacht zumüllen.
@topic: mir ist bloß noch aufgefallen: du müsstest in den Näherungsbrüchen zu lb(4/3) auch diese seltsamen Nenner haben, oder, denn es ist ja
lb(4/3)+lb(3/2)=lb2=1
Ist ja auch ganz nett, denn das ist doch die Quarte, oder?
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HëllRÆZØR
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| Verfasst am: 15.1.2007 um 04:06 |
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Klar, wenn 2^(p / q) fast 3/2 ist, dann ist 2^((q-p) / q) fast 4/3 (die Quarte),
da 2^(p / q) * 2^((q-p) / q) = 2^(q / q) = 2
(Quinte und Quarte ergänzen sich zur Oktave)
Wenn man z.B. von unserer 12-stufigen Stimmung ausgeht entspricht der 7. Halbton (Frequenz 2^(7/12) ) etwa der Quinte, und der 5. Halbton (Frequenz
2^(5/12) ) der Quarte. Der 12. Halbton (Frequenz 2^(12/12) = 2) ist natürlich die Oktave.
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