The Unity Archiv - Brunschweiger Theorie -

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Ina

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Motto: Kein Motto

Verfasst am: 1.9.2006 um 20:15

Zitat

Macht eine Welt Sinn ohne Betrachter?

Nö, die Welt macht auch mit Betrachter keinen Sinn.

Zitat

Klar, kann es eine Welt geben, doch was für eine Bedeutung hätte sie ohne jemanden der sie ansieht? Völlig egal die Frage, sie wäre neutral ohne Wertung und ob es sie dann gibt oder nicht ist auch nicht von Bedeutung, für wen sollte es.

Na und? Die Welt ist zu erhaben um sich mit so einem Menschenscheiß wie "Sinn" oder "Bedeutung" abzugeben. Sie ist da - so wie Gott zu Moses sagt, er sei der "ich bin da".

Zitat

So und jetzt ist schluss mit diskutieren

Gute Idee. Halten wir uns doch einfach an die Mathematik. Kram deine Analysis 1-Unterlagen raus. Oder den Bronstein. Da steht in der 5. Auflage im Kapitel "5.2.5 Mächtigkeit von Mengen": "Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, falls es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt." Meine bijektive Abbildung N-->Z steht oben. q.e.d.
Weiter unten steht übrigens noch: "Unendliche Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie echte Teilmengen besitzen, die zur Gesamtmenge gleichmächtig sind."
Die Mathematik funktioniert so, sorry. Du hast so nen "Mathe für Physiker"-Kurs gemacht, oder? Die Laberbeweise haben sie einem im "richtigen" Mathekurs nämlich nach 2 Wochen ausgetrieben.

...

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Verfasst am: 2.9.2006 um 02:17

Es ging ja auch um Ganze Zahlen und Gerade Zahlen, @Jack!

Es gibt aber auch einen mathematischen Beweis. Den müßte ich aber mal erst finden.

Irgendwie ist ja auch bewiesen worden, dass es unendlich viele Mengen mit unendlichen Elementen gibt.
Da bekomme ich aber auch allmählich irgendwie so etwas wie kalte Füße, wenn ich darüber nachdenke.

Seneca

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Motto: Kein Motto

Verfasst am: 2.9.2006 um 14:47

Du meinst ganze Zahlen und gerade Zahlen als Mengen im Vergleich?
Also mein Mathelehrer hat uns das so beigebracht:

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen und unendlich viele gerade Zahlen, aber dennoch ist die Menge der ganzen Zahlen größer, denn wenn man ein Intervall, z.B. [1;10] betrachtet, dann gibt es darin mehr ganze, als gerade zahlen und analog kann man das auch allgemein für [x;y] machen und x gegen minus unendlich und y gegen plus unendlich gehen lassen, womit man den gesamten Zahlenbreich abgedeckt hätte. Aber auch dann ist klar: Man wird immer mehr ganze als gerade Zahlen im Intervall haben.
Also geht die Rechnung unendlich=unendlich schonmal nicht auf.

Sry, dass ich hier eure hochkomplizierte Mathematik unterbreche, aber das war das, was man einfachen Schülern über dieses Tehma erzählt. Ich hoffe ich hab jetzt auch richtig erfasst, auf was ihr hinauswolltet.

HëllRÆZØR

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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!

Verfasst am: 2.9.2006 um 15:58

Zitat

Original von Seneca
Man wird immer mehr ganze als gerade Zahlen im Intervall haben.

Genau das ist der springende Punkt. Es geht nicht darum, wie groß die Zahlendichte ist (Anzahl Zahlen in einem Intervall), sondern um die Mächtigkeit der Menge, und dafür ist die Benennung der einzelnen Elemente egal.

Wenn man die Elemente der ganzen Zahlen nimmt (..., -1, 0, 1, ...) und jedes Element mit 2 multipliziert (..., -2, 0, 2, ...) verändert sich ja nicht die Anzahl der Elemente selbst, sie werden nur anders benannt, und man erhält die ganzen Zahlen. Das ist das, was Maria mit einer "bijektiven Abbildung" meinte.

-------------------------------------
Edit

Zitat

Original von Arne Kroger
Irgendwie ist ja auch bewiesen worden, dass es unendlich viele Mengen mit unendlichen Elementen gibt.
Da bekomme ich aber auch allmählich irgendwie so etwas wie kalte Füße, wenn ich darüber nachdenke.

Das ist eigentlich ganz einfach:
Wenn Z die Menge der ganzen Zahlen ist, und 2Z definiert ist als die Menge der geraden Zahlen, 3Z die Menge der durch 3 teilbaren Zahlen und nZ die Menge der durch n teilbaren Zahlen (n ist eine natürliche Zahl), dann ergeben sich durch Z, 2Z, 3Z, ..., nZ unendlich viele unterschiedliche unendlich große Mengen, falls man n gegen unendlich laufen lässt.

Jack

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Motto: Kein Motto

Verfasst am: 2.9.2006 um 16:47

>Na und? Die Welt ist zu erhaben um sich mit so einem Menschenscheiß wie "Sinn" oder "Bedeutung" abzugeben. Sie ist da - so wie Gott zu Moses sagt, er sei der "ich bin da".

Klar, ich bin auch der Meinung, die Welt ist einfach ohne Wertung und Bedeutung. Doch durch den Beobachter Mensch, der der Welt Bedeutung beimisst und eine Bedeutung definiert, gibt er der Welt Bedeutung. Ohne Bewusstsein und den menschen gibts ja noch nicht mal sowas wie Sinn, Bedeutung, Wertung, da es niemanden gibt, der diese Worte definiert. Lange Rede kurzer Sinn, scheiss drauf, ich bin der ich bin

liebe Maria, wovon du redest ist die definition der Mathematik von "mächtigkeit", was ja nicht unbedingt das war worum es ging. Soweit ich verstanden hab gings darum ob die beiden Zahlenmengen gleich gross sind, nicht gleich mächtig, sondern gleich gross und das sind sie definitiv nicht, siehe oben.
Und hey, ich hab zumindest Analysis 1 und zwei bei den Mathematikern gehört und ja die haben mir das ausgetrieben mit unsauberen Beweisen. Inwiefern die lustigen Mathematiker mit ihrer Definition von einer Mächtigkeit was anfangen können ist mir auch Schleierhaft. Das macht die Teilmengen im unendlichen dennoch nicht gleich gross. Und die Frage ist nun ob du sie überhaupt sogar als gleichmächtig bezeichnen kannst nach deiner definition, wenn ich grad bewiesen habe, dass es doppelt soviele ganze wie natürliche Zahlen im unendlichen gibt, du also irgendwie Probleme haben wirst bijektiv abzubilden.

Wie sich die Mathematiker da wieder rausreden wollen, will ich glaub ich gar nicht wissen. Auch wenn ich an deiner bijektiven Abbildung so intuitiv keinen Fehler sehe, da du immer eine auf die andere Zahl abzubildende Zahl finden wirst. Tja, ich glaub die Lösung der Mathematiker war, dass sie sich einfach das so hindefiniert haben wie sie wollten, was im Grunde auch keinen Unterschied auf die Welt wie wior sie kennen haben wird.

So Ordnungshalber noch ganze Zahlen und gerade Zahlen (wobei du mit geraden wahrscheinlich die positiven geraden meinst?

Analog zu oben ausgerechnet ergibt sich, dass es im unendlichen 4 mal soviele Ganze wie gerade Zahlen gibt, ob die Mengen nun gleichmächtig sind oder nicht. Obwohl das schon sinn macht, sie sind ja beide unendlich, also gleichmächtig. Doch sie sind nicht gleich gross :-)

Liebe Grüsse
Jack

HëllRÆZØR

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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!

Verfasst am: 2.9.2006 um 18:32

Zitat

Original von Jack
liebe Maria, wovon du redest ist die definition der Mathematik von "mächtigkeit", was ja nicht unbedingt das war worum es ging. Soweit ich verstanden hab gings darum ob die beiden Zahlenmengen gleich gross sind, nicht gleich mächtig, sondern gleich gross und das sind sie definitiv nicht, siehe oben.

Es gab da mal so einen Satz für unendliche Reihen, dass es einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge man die Summanden anordnet. Du machst hier im Prinzip etwas Ähnliches, indem du aus den natürlichen Zahlen jeweils 2 nimmst, während du aus den (positiven) geraden Zahlen nur eine nimmst, obwohl die Benennung der Elemente (wie ich bereits sagte) keinen Einfluss auf die Anzahl der Elemente haben sollte, oder? Und davon, dass man dir unsaubere Beweise ausgetrieben hat, bin ich auch nicht überzeugt.

Zitat

Original von Jack
So Ordnungshalber noch ganze Zahlen und gerade Zahlen (wobei du mit geraden wahrscheinlich die positiven geraden meinst?

Ich hatte jetzt angenommen, das mit den geraden Zahlen die geraden Zahlen gemeint sind...

Ina

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Motto: Kein Motto

Verfasst am: 2.9.2006 um 19:44

Wir haben halt kein "Intervall, das "immer größer wird" und wir gehen auch nicht nur gegen unendlich - so klappt das nicht, Leute, eure Intuition ist Schrott im Unendlichen.

Aber gut, ich kann ja auch mal labern: ist doch eigentlich klar: wenn ich die Elemente einer Menge durchnummerieren kann "von 1 bis unendlich" (wobei ich genau sage, welches Element welche Nummer kriegt), dann müssen in der Menge "gleich viele" Elemente drin sein, wie es "Nummern", also natürliche Zahlen gibt.

@Jack

Zitat

wovon du redest ist die definition der Mathematik von "mächtigkeit", was ja nicht unbedingt das war worum es ging. Soweit ich verstanden hab gings darum ob die beiden Zahlenmengen gleich gross sind, nicht gleich mächtig, sondern gleich gross und das sind sie definitiv nicht, siehe oben.

Wenn es ne exakte Definition dafür gibt, wann zwei unendliche Mengen "gleich groß" sind, verrat sie mir bitte, ich kenn da nämlich nur den Begriff "gleichmächtig" (wenn ich mal was anderes lax dahergelabert habe, liegt es daran, dass wir hier nicht im Matheforum sind).
Dann werden wir schauen, ob N und Z die Bedingungen dafür erfüllen oder nicht.
Und komm mir nicht mit irgendwelchen Erfindungen von dir, du kannst dir gerne deine Privatmathematik basteln, doch damit werde ich mich nicht herumschlagen.

Zitat

Und die Frage ist nun ob du sie überhaupt sogar als gleichmächtig bezeichnen kannst nach deiner definition, wenn ich grad bewiesen habe, dass es doppelt soviele ganze wie natürliche Zahlen im unendlichen gibt, du also irgendwie Probleme haben wirst bijektiv abzubilden.

die Abbildung ist bijektiv, aber du willst wohl echt, dass ich hier die Allgemeinheit noch mehr langweile:

also ( :12: ), ordentlich hingeschrieben ist die Abbildung N-->Z:

n --> n/2 für n gerade
n --> -(n-1)/2 für n ungerade

Injektivität:

(n,m Element N)
n/2=m/2 <=> n=m
-(n-1)/2=-(m-1)/2 <=> n=m
-(n-1)/2=m/2 <=> n+m=1, unmöglich für n,m Element N

Surjektivität:

(z Element Z)
z>0: n=2z wird auf z abgebildet
z kleiner gleich 0: n=-2z+1 wird auf z abgebildet

q.e.d. modulo Tippfehler

Und @Yog, Ich glaube eher, @Arne wollte auf die immer höheren Mächtigkeiten der unendlichen Mengen raus.
Die "Menge aller Teilmengen" von ner unendlichen Menge hat eine höhere Mächtigkeit, @Arne, und die kannst du natürlich immer wieder bilden.

...

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Verfasst am: 3.9.2006 um 04:37

Ach, vielleicht sollten wir da auch gar nicht soviel Energie reinbuttern.

Ich hab´mal irgendwo bei Wittgenstein, der sich auch damit auf der philosophischen Ebene beschäftigt hat, gelesen, dass Cantor wegen dem Problem eh in der Klappse geendet ist.

Da gibt es noch einen Beweis von Hilpert, den ich aber auch nicht so ganz verstehe, weil sich letztendlich die Teilmengen eben wieder als überabzählbar erweisen können im Gegensatz zu der Grundmenge. Das sind dann alles wieder Beweise, die über die geometrischen Formeln gehen.

Ich setze da jetzt erstmal keine neue Energie rein.
Die aktual unendlichen Mengen sind eh noch nicht so lange bekannt (seit Anfang des vorletzten Jahrhunderts wird damit gearbeitet) und irgendwer hat noch Mitte des letzten Jahrhunderts einfach ein Axiom dazugestellt, damit sich auch die Mächtigkeit der überabzählbaren Mengen beweisen läßt.

Ja, @Maria, das ist leider auch manchmal in der Mathematik so:
Wenn die nicht mehr weiter kommen, setzen die einfach neue Axiome dazu.

Wobei ich da gar nicht so großartig auf mathematische Beweise ausweichen muss, nur ist es einfach schon von jedweder Logik nachvollziehbar, dass es eben, da Unendlich keine Zahl ist, auch unendlich viele Unendlichs geben muss.
Schon sprachlich ist es eine Schlamperei zumindest in der Mathematik, wenn ich jetzt aktuale Unendlichkeit voraussetze, von "DEM" Unendlich zu sprechen. Unendlich ist in dem Falle immer Plural.
(Im Falle Gerade und Ganze Zahlen ist das aber sowieso entbehrlich, da die Mengen ja abzählbar sind, meines Wissens ist das dann eh die "selbe" Unendlichkeit!)

Jack

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Verfasst am: 4.9.2006 um 13:56

liebe maria nunmal langsam. Du hast zwefelsohne bewiesen, dass du die natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen bijektiv abbilden kannst, aber das hast du nur für ein beliebiges Intervall n gezeigt, jedoch nicht für die unendlichkeit. Von wegen, Sauberkeit in der Beweiskette und so.
Egal wie du es zeigen willst, irgendwann wirst du ein Axiom verwenden müssen, wie unendlich/2=unendlich oder unendlich+unendlich=unendlich, falls die Mathematik solche Axiome besitzt. Wenn ja, muss ich sagen, dass Mathematiker hier sehr unsauber sind.

Denn die Abbildung, kann und wird niemals bijektiv sein können, da es nur halb soviel natürliche, wie ganze Zahlen gibt.

Bilde bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf die positiven ganzen Zahlen, so dass 1->1, 2->2 etc.
Um zu beweisen, dass die Menge der ganzen und natürlichen Zahlen gleichmächtig sind, musst du jetzt natürliche Zahlen finden, die du auf -1, -2 etc abbildest.

Sei n eine natürliche Zahl n abgebildet auf eine negative ganze Zahl -m. Da jedoch diese auch auf eine positive Zahl n abgebildet wird ist das ein widerspruch zur bijektivität. Somit sind die beiden Mengen nicht gleichmächtig.
q.e.d.

Wie Sothoth sagt, es macht einen Unterschied wie du die Elemente anordnest bei unendlichen Reihen. Diesen Unterschied kann es nur geben, wenn du unendlich/2=unendlich setzt. Wobei ich finde dass das keinen Bezug zur Realität und Logik hat. Und wenn Mathematiker das wirklich sich so hindefiniert haben, dann bin ich schwer enttäuscht.

sonst so genau, aber einfach ohne nachzudenken unendlich/2=unendlich setzen tststs. Klar wir Physiker machen das, einfach weil wir immer endliche Probleme haben und 2 durch eine riesige Zahl ist eben null gegenüber einer 1, besser gesagt, es macht keinen unterschied, keinen messbaren. Doch die Mathematik sollte sowas nicht einfach tun

Doch sie hat es, wie sie im Bronstein ihre eigene nutzlosigkeit und dummheit beweist: So steht dort, Seite 310 im prinzip dass Z und N gleichmächtig sind. Dabei würde ich gerne den Beweis sehen, wie sie gezeigt haben, dass N und Z sich bijektiv im unendlichen abbilden lassen ohne unendlich/2=unendlich zu setzen.

Naja, mir solls recht sein. Jedenfalls behauptet die Mathematik hiermit, dass es genausoviele Zahlen in Z wie in N gibt, ansonsten könntest du ja beide nicht bijektiv abbilden. Wobei ich das oben ja leicht wiederlegt habe, gut, das veröffentliche ich jetzt und werde berühmt.

Liebe Grüsse
Jack

HëllRÆZØR

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Verfasst am: 4.9.2006 um 18:01

Zitat

Original von Jack
liebe maria nunmal langsam. Du hast zwefelsohne bewiesen, dass du die natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen bijektiv abbilden kannst, aber das hast du nur für ein beliebiges Intervall n gezeigt, jedoch nicht für die unendlichkeit. Von wegen, Sauberkeit in der Beweiskette und so.

Wo ist das Problem? Lass n gegen unendlich laufen, und du hast den Beweis für die Unendlichkeit.

Zitat

Original von Jack
Bilde bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf die positiven ganzen Zahlen, so dass 1->1, 2->2 etc.
Um zu beweisen, dass die Menge der ganzen und natürlichen Zahlen gleichmächtig sind, musst du jetzt natürliche Zahlen finden, die du auf -1, -2 etc abbildest.

Sei n eine natürliche Zahl n abgebildet auf eine negative ganze Zahl -m. Da jedoch diese auch auf eine positive Zahl n abgebildet wird ist das ein widerspruch zur bijektivität. Somit sind die beiden Mengen nicht gleichmächtig.
q.e.d.

1->1, 2->2 ist eine Abbildung von den natürlichen in die natürlichen Zahlen. Du meinst sicher 1->2, 2->4 ...
Wenn du eine Bijektion von den natürlichen auf die ganzen Zahlen suchst, nimm N -> N - 2 für gerade und N -> -2N für ungerade Zahlen. Ist natürlich bis ins unendliche fortführbar...

Edit: Ups, hab' das aus Versehen für die geraden statt für die ganzen Zahlen gemacht. Aber egal, siehe Maria siehe Königsberger...

Zitat

Original von Jack
Wie Sothoth sagt, es macht einen Unterschied wie du die Elemente anordnest bei unendlichen Reihen. Diesen Unterschied kann es nur geben, wenn du unendlich/2=unendlich setzt. Wobei ich finde dass das keinen Bezug zur Realität und Logik hat. Und wenn Mathematiker das wirklich sich so hindefiniert haben, dann bin ich schwer enttäuscht.

Mit dem "x * unendlich = unendlich, x Element R {0}" wollte ich bloß zeigen, wie unsinnig es ist, verschiedene "Unendlichs", über die man nichts weiß miteinander in Relation zu setzen. Deshalb ist die Frage, welche unendlich große Menge größer ist ja so sinnlos, und wir benutzen hier statt dessen den Begriff der "Mächtigkeit".

Ina

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Verfasst am: 4.9.2006 um 19:33

Zitat

Du hast zwefelsohne bewiesen, dass du die natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen bijektiv abbilden kannst, aber das hast du nur für ein beliebiges Intervall n gezeigt, jedoch nicht für die unendlichkeit.

Für welches Intervall denn bitte?
Was soll das "im unendlichen"?
Hier wird ganz eindeutig JEDER ganzen Zahl eine natürliche bijektiv zugeordnet. ALLE werden "durchnummeriert", KEINE wird ausgelassen.

Zitat

Von wegen, Sauberkeit in der Beweiskette und so.

*lol*, also fützeliger gehts nimmer, ich hab jetzt sogar noch meinen "Königsberger - Analysis 1" rausgekramt, die schreiben dazu nur:

Lemma: Die Menge Z ist abzählbar.
Beweis: Eine Bijektion f: N-->Z liefert z.B. die Zuordnung [Tabelle] mit f(n):=n/2 für gerades n und f(n):=(1-n)/n für ungerades n.

Mehr war denen dieser simple Scheiß nicht wert.

Zitat

Egal wie du es zeigen willst, irgendwann wirst du ein Axiom verwenden müssen, wie unendlich/2=unendlich oder unendlich+unendlich=unendlich

ja Ordinalzahlen gibts schon, dieses omega, das definitionsgemäß größer ist als jede natürliche Zahl, aber selbst da ist omega+omega=2*omega etc. und die Dinger braucht man hier nicht.

Zitat

Bilde bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf die positiven ganzen Zahlen, so dass 1->1, 2->2 etc.
Um zu beweisen, dass die Menge der ganzen und natürlichen Zahlen gleichmächtig sind, musst du jetzt natürliche Zahlen finden, die du auf -1, -2 etc abbildest.

Sei n eine natürliche Zahl n abgebildet auf eine negative ganze Zahl -m. Da jedoch diese auch auf eine positive Zahl n abgebildet wird ist das ein widerspruch zur bijektivität. Somit sind die beiden Mengen nicht gleichmächtig.

Du, es heißt:
"Wenn es EINE bijektive Abbildung gibt, sind sie gleichmächtig."
Dass man ne Abbildung finden kann, die nicht bijektiv ist, heißt nicht, dass sie nicht gleichmächtig sind - sollte doch eigentlich primitivste Logik sein.

Sonst bild ich N auf N ab mit n-->n+3 oder sowas, ist auch nicht bijektiv, deshalb ist aber trotzdem N gleichmächtig wie N :12:

Man hantiert eben nicht so grob mit dem Unendlichen rum, wie du das hier machst, einfach rumteilen "unendlich/unendlich" und so, sondern man muss das ordentlich aufbauen, mit vernünftigen Definitionen und Beweisen, die sich streng daran halten ohne pseudointuitives Rumgelaber - du hast mir übrigens immer noch nicht gesagt, was die "gleich viele Elemente"-Definition von der "gleiche Mächtigkeit"-Definition unterscheidet.

Oder willst du jetzt hier echt anzweifeln, dass N und Z dieselbe Mächtigkeit haben??

Also in dem Fall würde es mir echt unmöglich werden, dich ernstzunehmen.
Ich hab unrecht - ok, das könnte noch gut sein. Aber nein, damit hat sichs noch nicht, sondern: jede scheiß Formelsammlung und jedes scheiß Mathelehrbuch, ja die ganze Mathematik hat auch unrecht, denn

Zitat

"Denn die Abbildung, kann und wird niemals bijektiv sein können, da es nur halb soviel natürliche, wie ganze Zahlen gibt."

Jack said so. Und nicht etwa er ist hier "sehr unsauber", sondern alle Mathematiker, d.h. die geistig strengste, paranoideste, vorsichtigste Menschengattung, die mir je untergekommen ist.

Also kannst du jetzt bloß ums Verrecken nicht zugeben, dass du da irgendwas nicht mitgekriegt hast, oder meinst du das tatsächlich ernst?

"Hindefiniert" sagt er, was bitte ist daran "hindefiniert", wenn man sagt, zwei Mengen hätten genau dann "gleich viele Elemente", bzw. im unendlich großen Fall "die selbe Mächtigkeit" wenn man sie bijektiv aufeinander abbilden kann? Wenn du was abzählst, machst du doch genau das: wenn du fünf Äpfel zählst, tippst du sie (gedanklich) an und nennst den einen "1", den nächsten "2" und wenn du bei "5" keine Äpfel mehr hast, sind da fünf Äpfel. Was ist daran "hindefiniert"?

Jack

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Verfasst am: 4.9.2006 um 22:07

Soso in nem Freidenker Forum rumlaufen und sagen, wenn das alle Mathematiker so machen, dann wirds schon stimmen.
Sorry, liebe Maria, aber so einfach mach ich mir das nicht.

Ich gebe zu, die Definition von Mächtigkeit ist fett, die sagt tatsächlich aus, dass zwei Mengen die gleiche Anzahl an Elementen haben. Was mein Problem mit unserem Problem noch verhärtet.

Primitivste Logik sollte sein, dass Bijektivität eine gleiche Anzahl von Elementen vorraussetzt. Du hast zwar bewiesen, dass du eine Abbildung definiert hast, die für jedes beliebige n aus N bijektiv ist, du hast aber nicht bewiesen, dass du ganz Z damit abdeckst. Und du kannst es schon offensichtlich nicht beweisen, wenn du nicht unendlich/2=unendlich setzt. Und diesem Schritt zweifle ich jegliche Logik ab.

Zusätzlich, wenn ich zwei gleichmächtige Mengen habe, die sich bijektiv aufeinander abbilden lassen, sollte es rein offensichtlich keine Möglichkeit geben sie anders aufeinander abzubilden bei der, bei einer Menge Zahlen übrig bleiben, während von der anderen alle, ausnahmslos alle abgebildet wurden.

Ich habe hier schonmal mehrfach bewiesen, dass Z mehr Zahlen enthält als N, somit kannst du niemals eine bijektive Abbildung finden, was du meines Erachtens auch nicht hast.

Was die Mathematiker hier machen ist einen Physikerbeweis, joa, für alle Zahlen die man sich denken kann passt das schon, dann wirds auch bis in die unendlichkeit passen.

>Was soll das "im unendlichen"?
Hier wird ganz eindeutig JEDER ganzen Zahl eine natürliche bijektiv zugeordnet. ALLE werden "durchnummeriert", KEINE wird ausgelassen.

Wie du so schön sagst, im Unendlichen kannst du nicht einfach deine Alltagslogik verwenden. Du hast recht damit, dass keine ausgelassen wird. Doch dass du wirklich jede ganze Zahl erwischst musst du erst beweisen. Die Mathematiker haben sich hier wohl offensichtlich nicht die Mühe gemacht das Problem zu durchdenken. Nach dem Motto, klar, ich kann immer eine natürliche Zahl finden die meine Abbildungsvorschrift zu jeder beliebigen ganzen Zahl erfüllt.
Das war der Laberbeweis, den deine Mathematikerkollegen hierzu durchgeführt haben. Dieser Meinung wird dann ein führender und angesehener Mathematiker gewesen sein und die Sache war gegessen.
Doch das ist kein Beweis, denn du redest hier schliesslich von unendlichkeit und nicht von einer beliebigen Zahl.
Da kommst du sooo einfach nicht weiter. Hier war eindeutig Grössenwahn, der Vater des Gedanken. Grössenwahn man müsse sich als Mathematiker nicht an so profane Dinge wie Logik der einfachen Leute halten. Nein man ist was besseres. Und um zu beweisen, dass sie die grössten und alle anderen einfach nur zu dämlich sind um es zu verstehen erzählen die so einen Scheiss und halten es nicht mal für nötig es sauber zu beweisen - ist ja trivial. Ich kann zu jeder ganzen Zahl eine passende natürliche finden, also bijektiv, passt, nächstes Problem.

Ich bin mir absolut sicher, dass das so und nicht anders passiert ist, dass Mathematiker einen solchen schwerwiegenden Fehler machen, der wohl noch heute sogar in der Bibel (Bronstein) steht.

witzig ist nur, dass die liebe Maria als Hauptargument gegen mich anführt, dass unmöglich die ganzen Mathematiker unrecht haben können. Wobei du mir immer noch nicht bewiesen hast, warum N auf Z bijektiv abbildet. Du hast lediglich bewiesen, dass es eine Abbildung von N auf Z gibt, die für jedes beliebige endliche n aus N bijektiv ist. Aber wie sieht das ganze aus, wenn du n unendlich setzt, dann hast du nämlich das Problem, dass du bei der Menge Z erst bei unendlich/2 bist.
Hier haben die Mathematiker einfach ein Axiom definiert und benutzt, das unendlich/2=unendlich setzt.

Das ist was ich behaupte und dessen Sinnhaftigkeit ich hiermit anzweifle.

Liebe Grüsse
Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 01:43

Zitat

Original von Jack
Du hast zwar bewiesen, dass du eine Abbildung definiert hast, die für jedes beliebige n aus N bijektiv ist, du hast aber nicht bewiesen, dass du ganz Z damit abdeckst.

Du weißt aber doch, dass eine Bijektion eine Abbildung ist, die in beide Richtungen funktioniert, oder?
Wenn Maria eine bijektive Abbildung N -> Z gefunden hat, dann ist deren Umkehrfunktion Z -> N (die existiert) ebenfalls bijektiv (sonst wäre besagte Abbildung N -> Z keine Bijektion), sie deckt also alle Elemente von Z ab. Wenn du mir selbst das nicht glaubst, nimm Z -> 2Z (für positive Z) und Z -> -2Z + 1 (für nicht positive Z). Noch mal zur Erinnerung: unendlich große Mengen sind unbeschränkt, deswegen existiert auch jede natürliche Zahl, die doppelt so groß wie eine positive ganze Zahl ist.

Zitat

Original von Jack
Ich habe hier schonmal mehrfach bewiesen, dass Z mehr Zahlen enthält als N, somit kannst du niemals eine bijektive Abbildung finden, was du meines Erachtens auch nicht hast.

Ich weiß nicht, ob ich jetzt lachen oder heulen soll...

...

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Verfasst am: 5.9.2006 um 02:20

Niemand bestreitet, @Jack, das es eben unendlich viele Unendlichkeiten gibt, daher hat man eben "Unendlich" nicht mehr unterteilt.
ES IST KEINE ZAHL!
Und daher kann man eben die normalen arithmetischen Regeln nicht anwenden.
Unendlich + 1 = Unendlich!
So habe ich das auch mal gelernt, und es ist insofern logisch, als dass man eben darauf verzichtet, verschiedene Unendlichkeiten zu schaffen.
Das ist naturwissenschaftlich wahrscheinlich Blödsinn, aber Mathematik ist keine Naturwissenschaft, sondern eine Philosophie.
Ich hab`da viel mehr Schwierigkeiten damit, dass a / Unendlich = 0 sein soll. Aber unendlich ist nunmal keine Zahl wie alle anderen, insofern ist es doch auch logisch, oder zumindest nachvollziehbar, dass eben die normalen arithmetischen Regeln nicht gelten.

Aber Du, @Jack, bist nicht der erste, der darüber möpperte.
Ein Mathematiker mit dem Namen Robinson hat irgendwann vor 40 Jahren dafür eben die hyperreellen Zahlen geschaffen, die eine Teilmenge der surreellen Zahlen bilden. Und für die gelten dann wieder durchaus andere Regeln als die der bislang beschriebenen Axiome des Unendlichen.

(Ich hab´das aber mit den hyperrreellen Zahlen sowieso nie ganz verstanden, vielleicht weiss @Maria da noch mehr drüber. Ich hab´zwar gerade mal gegoogelt, aber aus den Links werd´ich zumindest auch nicht schlauer!)

Ina

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Verfasst am: 5.9.2006 um 09:17

Zitat

Soso in nem Freidenker Forum rumlaufen und sagen, wenn das alle Mathematiker so machen, dann wirds schon stimmen.
Sorry, liebe Maria, aber so einfach mach ich mir das nicht.

Ich warte noch immer auf deine tolle Gegendefinition von "genau so viele".
Hast du mir immer noch nicht geliefert.
Also mir erscheint das mit der Bijektion hochvernünftig.
Und ich habe mich auf nichts anderes berufen.

Zitat

Du hast zwar bewiesen, dass du eine Abbildung definiert hast, die für jedes beliebige n aus N bijektiv ist, du hast aber nicht bewiesen, dass du ganz Z damit abdeckst.

:12: weißte noch, das heißt "Surjektivität", guckst du meinen Beweis an, die wird da gezeigt.

Zitat

Zusätzlich, wenn ich zwei gleichmächtige Mengen habe, die sich bijektiv aufeinander abbilden lassen, sollte es rein offensichtlich keine Möglichkeit geben sie anders aufeinander abzubilden bei der, bei einer Menge Zahlen übrig bleiben, während von der anderen alle, ausnahmslos alle abgebildet wurden.

Auweia, jetzt wirds auch noch "rein offensichtlich". Echt tolle Beweisführung. Voll logisch und so. Warum sagst du nicht gleich, dass dir Gott das offenbart hat.

Noch ein doofes Gegenbeispiel zu dem Spruch:
Ich bilde N auf N ab und zwar mit f(n):=1.
Bleiben doch ne Menge Zahlen über, oder.
Aber werden doch trotzdem alle, ausnahmslos alle abgebildet, oder.
Daraus folgt nach Jack: "N hat nicht die gleiche Mächtigkeit wie N".
Na gut, Jack, unter DIESER Voraussetzung hat N auch nicht die gleiche Mächtigkeit wie Z :D

Zitat

Du hast recht damit, dass keine ausgelassen wird. Doch dass du wirklich jede ganze Zahl erwischst musst du erst beweisen.

Du, ich krieg jetzt hier Sprachprobleme, echt.
Wenn ich keine auslasse, erwische ich doch alle.
Wenn ich alle erwische, lasse ich keine aus.
Surjektivität halt.

Zitat

Ich kann zu jeder ganzen Zahl eine passende natürliche finden, also bijektiv, passt, nächstes Problem.

Zu Erinnerung: Bijektivität ist definiert als Surjektivität plus Injektivität. Also alles wird abgedeckt und kein Bild hat zwei Urbilder.
Anschaulich ausgedrückt: Es besteht eine "eins zu eins"-Beziehung zwischen den Elementen der Mengen.

Zitat

witzig ist nur, dass die liebe Maria als Hauptargument gegen mich anführt, dass unmöglich die ganzen Mathematiker unrecht haben können

Ach Jack, wir sind hier nicht in der Gesellschaftslehre oder einem ähnlichen, schwammigen Kram wo man durchaus der einzig normale in einer verrückten Welt sein kann, sondern wir sind in der Mathematik. Klar hat die ihre Axiome, muss ja so sein, aber du hast mir immer noch nicht gesagt, welches Axiom denn jetzt falsch sein soll. Dieses "unendlich=unendlich/2" braucht man nämlich einfach nicht.
Klar ist auch Mathe ein Luftschloss, nichts ist von sich aus wahr, aber du hast hier nicht die alternative Mathe geliefert, du bist auf den Axiomen der herkömmlichen sitzen geblieben und damit ist einfach falsch, was du sagst.

Zitat

Du hast lediglich bewiesen, dass es eine Abbildung von N auf Z gibt, die für jedes beliebige endliche n aus N bijektiv ist. Aber wie sieht das ganze aus, wenn du n unendlich setzt, dann hast du nämlich das Problem, dass du bei der Menge Z erst bei unendlich/2 bist.

"Unendlich" ist nicht Element N, Jack.
Es gibt nur "endliche n" in N.

Ach Jack, ich empfehle dir, dich weniger mit Mathe und mehr mit Politik zu befassen, denn dafür hast du ein echtes Talent. Ich glaube, es gibt nichts, das du nicht so lange vehement vertreten könntest, bis du alle Gegenspieler in den Wahnsinn getrieben hast.

Und @Arne, ich hab jetzt auch bloß den Wikipedia-Beitrag dazu gelesen, ja das geht echt in den Spieltriebbereich der Mathematik über (deine Signatur hat das hübsche Zeug aber echt nicht verdient

)- und sowas könnte tatsächlich das immer schwerer fassbare Problem hier sein: ich labere von vergleichsweise simpler Analysis, die man im ersten Semester in den ersten zwei Wochen macht und wo man sich hütet, das Unendliche mehr anzufassen als nötig, während @Jack irgendwas von Nichtstandardanalysis im Kopf hat und deshalb fröhlich mit einem nicht näher definierten "unendlich" rumteilt etc.
Aber das braucht man alles gar nicht, um "bijektive Abbildungen" und "Mächtigkeit" zu definieren und N auf Z abzubilden. Das hat damit einfach nichts zu tun, wir haben bloß N und Z, in denen gibts kein Element "unendlich", bloß unendlich viele Elemente, von denen man aber jedes mit dem Symbol "n" oder "z" zu fassen kriegt und problemlos über eine Formel abbilden kann.

Seneca

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Verfasst am: 5.9.2006 um 12:55

Also erstmal danke für eure Diskussion, denn langsam erschließt sich das auch mir ein bisschen.
Aber eine Frage hätt ich da noch, wie sieht die Abbildung konkret aus, wenn ich N auf Z abbilde, dann könnte ich sagen.

1 auf 1
2 auf -1
3 auf 2
4 auf -2
5 auf 3
6 auf -3
...

Ist das soweit richtig?
Weil wenn ja, dann ergibt das Ganze auch mit einem schwammigen, für den Laien verständlichen "Beweis" Sinn:
Ich muss zwar immer höhere N verwenden, da sehr viele Z anfallen, die ich "abdecken" muss, aber von N habe ich ja auch eine unendlcihe Anzahl, d.h. die Zuordnungen, die ich oben verwendet habe könnte ich ewig weiterführen und es würde keine einzige Zahl aus N oder Z übrigbleiben.

Soweit richtig?

Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 15:31

Seneca du hast recht, dass ist der Schwammige Beweis der Mathematiker

Liebe Maria, ich kann da nicht völlig locker lassen, auch weil du mich hier als Idioten hinstellst, der das nur nicht kapiert, was ich durchaus tue.

Die Definition von Bijektivtät kombiniert mit Mächtigkeit ist nach reiflicher Überlegung eine ausreichende Definition anhand derer ich die Anzahl von Elementen in einer Menge vergleichen kann.

Wie gesagt warte ich immer noch auf einen BEWEIS, dass du wirklich ALLE Z mit deiner Abbildung greifen kannst. Du hast bewiesen, dass es für jedes beliebige n oder z eine solche bijektive Abbildung gibt, aber das ist nicht was zu beweisen war. Es ist zu beweisen, dass es eine Abbildung von ALLEN Elementen aus N auf ALLE Elemente aus Z gibt.

Ach, weisste was, mach was du willst. Glaub was du willst. Wenn die Mathematiker das so definiert haben wollen, dann sollen sie doch.

Ich bin anderer Meinung bis du mir einen Beweis lieferst. Es sei denn das alles war dein Beweis und du behauptest weiterhin, dass unendlich+unendlich=unendlich ist. Denn nur dann kannst du eine bijektive Abbildung von N auf Z definieren. Nur dann erwischst du jedes Z.

Inzwischen verstehe ich auch das Wischi-Waschi mit der abzählbarkeit. Nach dem Motto, die natürlichen Zahlen kann ich durchzählen und die ganzen Zahlen auch, daraus folgt sie sind gleichmächtig und haben gleiche Anzahl an Elementen.
Wobei das auch nur einigermaßen Sinn macht, wenn du annimmst dass die 1 aus den natürlichen Zahlen nicht identisch ist mit der 1 aus den ganzen Zahlen. Und ich glaube das ist der Knackpunkt an der ganzen Sache. Und das ist wahrlich eine Sache über die man sich lange den Kopf zerbrechen kann.

Aber ich gebe zu, das Argument hab ich erst jetzt so in etwa verstanden und macht nur Sinn, wenn man 1 aus N nicht gleich 1 aus Z betrachtet und somit einfach nur sich anschaut, dass man nach der gleichen Zeit genausoviele Elemente in Z wie in N gezählt hat, nur dass halt z nur etwa die hälfte an Wert von n hat zu dem Zeitpunkt, aber da du ja nur Elemente zählst (ungeachtet von der Zahl die dahinter steckt) ist das ja egal.

Lange Rede kurzer Sinn, kommt wie immer auf den Betrachter an. Zählst du zeitlich Elemente in die unendlichkeit hast du recht. Beachtest du die Werte der Elemente während du zählst hab ich recht. Obwohl du bedenken musst, dass der Wert eine Rolle spielt, da er dir angibt wie weit du noch zählen musst und, dass du ohne obige unendlich+unendlich=unendlich definition eines Axioms immer noch nicht beweisen kannst, dass N auf Z wirklich bijektiv abbildet. (da geh ich nicht weg von, wenn ich schon dein Argument verstanden hab jetzt, möcht ich auch sehen, dass du meins verstanden hast)

Und ja, ich werd wohl mal sowas wie Politiker *fg*

Liebe Grüsse
Jack

Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 17:30

dieses doofe aber überaus interessante Thema lässt mich nicht los.

EIns ist sicher, die Mathematik und ich haben eine völlig andere Vorstellung des Unendlichen. Für mich macht s absolut Sinn die Menge der natürlichen Zahlen als N und die der ganzen Zahlen als Z zu bezeichen mit Z=2N+1 wobei Z=unendlich und N=unendlich (und das plus 1 ein Scherz ist).

Wobei für Mathematiker N=Z=unendlich

Beides macht irgendwie Sinn. Wobei ich eher an der realen Unendlichkeit als Naturwissenschaftler interessiert bin, während Mathematiker Unendlichkeit als lästiges philosophisches Konstrukt behandeln.
So kann man bei einem Mathematiker niemals sich jemandem nähern, wenn man seine Strecke immer nur halbiert. Während in der Realität allerspätestens bei etwa 10^(-34) m oder so einem die Quantenmechanik dieses Modell kaputt macht.
Ebenso unser Problem, man kann immer eine natürliche Zahl finden die zu einer ganzen Zahl passt, doch in der Realität wirst du irgendwann einsehen müssen, dass du aufhören musst mit definieren und immer noch nur die hälfte der Zahlengrösse bei den Ganzen als wie bei den natürlichen erreicht hast.

Ich gehe davon aus, dass die Unendlichkeit leicht zu begreifen ist, wenn man mal genauer hinschaut. Denn man wird sehen, dass die Welt voller Unendlichkeit ist und doch endlich ist. Für mich gibt es einen Endpunkt in der Unendlichkeit an dem sich alle parallelen Linien schneiden. Und genau an diesem Punkt hast du einen Fehler in deiner Bijektivität.

Die Frage ist, ist eine Abbildung bijektiv, wenn du zwei Mengen hast, deren "Mächtigkeit" du nicht erfassen kannst? Eine Abbildung ist nur dann bijektiv, wenn beide Mengen dieselbe Anzahl an Elementen enthält, da sind wir uns doch einig? Nun, die Frage ist, was ist wenn die beiden Mengen keine bestimmte Anzahl haben?

>Noch ein doofes Gegenbeispiel zu dem Spruch:
Ich bilde N auf N ab und zwar mit f(n):=1.
Bleiben doch ne Menge Zahlen über, oder.
Aber werden doch trotzdem alle, ausnahmslos alle abgebildet, oder.

Hä, hab ich mich unklar ausgedrückt? Ist f(n):=1 bijektiv? Nein, aber meine Abbildung eben schon. Ich mein, du solltest mich da eigentlich schon verstehen, was ich meine. Da N echte Teilmenge von Z kann ich alle n aus N auf alle m aus Z abbilden, bei denen n=m. somit habe ich alle n aus N verbaut, doch es bleiben noch die negativen Zahlen übrig.

Nun sollte aber offensichtlich sein, dass du sowas bei einer Menge nicht können darfst die sich bijektiv abbilden lässt. Nehmen wir zum Beispiel: (1,2,3,4) und (3,6,4,8)
so nun bilde ich 1->3, 2->6, 3->4 und 4->8, sodala bijektiv abgebildet. Nun finde eine Möglichkeit, wie du da das anders machen kannst. Den allgemeinen Beweis lass ich Mathematikern, dürft doch nicht so schwer sein, für das, dass man damit dann die gleichmächtigkeit von Z und N den Todesstoss erteilen kann - Ruhm ud Ehre, müsst doch jemanden reizen.

Nochmal zum Mitschreiben den Satz den es zu beweisen gilt:
Ist eine Menge A auf B bijektiv abbildbar, so lässt sich keine echte Teilmenge von A bijektiv auf ganz B und umgekehrt keine echte Teilmenge B bijektiv auf ganz A abbilden.

Satz umgekehrt wichtiger:
Lässt sich eine echte Teilmenge von A bijektiv auf B abbilden, so kann man A nicht bijektiv auf B abbilden.

Mit diesem Satz kannst deinen Beweis von gleichmächtigkeit Z und N wegschmeissen.

Super jetzt werd ich mich hinsetzen m das zu beweisen anstatt zu lernen. Warum können Menschen mir nicht einfach mal zuhören und glauben, wenn ich was sag ;-) - ok, weil ich nicht selten unrecht hab *g*

Liebe Grüsse
Jack

HëllRÆZØR

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Motto: Ground Zero - auf ein Neues!

Verfasst am: 5.9.2006 um 17:40

@Seneca: Fast richtig, dir fehlt allerdings noch die 0 in den ganzen Zahlen:
1 auf 0
2 auf -1
3 auf 1
4 auf -2
5 auf 2
6 auf -3
(N -> (N - 1) / 2 für ungerade Werte, und N -> -N / 2 für gerade Werte)

Zitat

Original von Jack
Die Definition von Bijektivtät kombiniert mit Mächtigkeit ist nach reiflicher Überlegung eine ausreichende Definition anhand derer ich die Anzahl von Elementen in einer Menge vergleichen kann.

Im Endlichen hat die Menge eine Anzahl, im unendlichen nicht. Da gibt's nur sowas wie abzählbar oder überabzählbar unendlich, aber das ist ja keine Anzahl.

Zitat

Original von Jack
Wie gesagt warte ich immer noch auf einen BEWEIS, dass du wirklich ALLE Z mit deiner Abbildung greifen kannst. Du hast bewiesen, dass es für jedes beliebige n oder z eine solche bijektive Abbildung gibt, aber das ist nicht was zu beweisen war. Es ist zu beweisen, dass es eine Abbildung von ALLEN Elementen aus N auf ALLE Elemente aus Z gibt.

Wenn du wissen willst, welchem n welches z nach meiner Bijektion zugeordnet ist, benutze die Abbildung "N -> (N - 1) / 2 für ungerade Werte, und N -> -N / 2 für gerade Werte", wenn du wissen willst, welchem z welches n zugeordnet ist, schau dir die Abbildung "Z -> 2Z +1 für nicht negative Werte, und Z -> -2Z für negative Werte" an. Dass alle Elemente auf alle abgebildet werden ist völlig trivial, wenn du anderer Meinung bist erklär mir das bitte.

Zitat

Original von Jack
Lange Rede kurzer Sinn, kommt wie immer auf den Betrachter an. Zählst du zeitlich Elemente in die unendlichkeit hast du recht.

Was hat denn die Zeit jetzt damit zu tun?

Zitat

Original von Jack
Beachtest du die Werte der Elemente während du zählst hab ich recht.

Wenn du die Elemente auswertest hat das weder was mit Mächtigkeit noch mit "Anzahl der Elemente" zu tun. Ist jetzt etwa die Menge der natürlichen Zahlen mächtiger als die Menge der negativen ganzen Zahlen, weil du Spaß daran hast, die Elemente auszuwerten? Du kannst gerne eine Definition zur Auswertung von Mengen aufstellen - naja, viel Spaß dabei, wenn du das allgemein für alle Mengen machen willst...

Zitat

Original von Jack
Obwohl du bedenken musst, dass der Wert eine Rolle spielt, da er dir angibt wie weit du noch zählen musst und, dass du ohne obige unendlich+unendlich=unendlich definition eines Axioms immer noch nicht beweisen kannst, dass N auf Z wirklich bijektiv abbildet. (da geh ich nicht weg von, wenn ich schon dein Argument verstanden hab jetzt, möcht ich auch sehen, dass du meins verstanden hast)

Du meinst, wie weit man noch zählen muss, bis man das unerreichbare Unendlich erreicht hat?!? Und wer geht denn davon aus, dass es einen Wert "unendlich" gibt?

Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 18:01

verdammt, der Satz gilt ja sowieso, schon trivialerweise und sicherlich einfach zu beweisen, nur hilft mir das nix, weil der ja nur für endliche Mengen gilt. Mit Mathematiker definition von unendlich kommt da wieder raus, dass dieser Satz für unendliche Mengen nicht gilt. Und mit meiner Logik bekomme ich Probleme das sauber beweisen zu können, im moment brauch ich natürliche Indizes die so lang sind wie die Menge der ganzen Zahlen, was natürlich irgendwie doof ist, wenn ich zeigen will, dass es nur halb so viele natürliche wie ganze Zahlen gibt.

Lieber Seneca, dass etwas trivial ist ist kein Beweis.
Es ist auch trivial, dass Z ins positive mit den natürlichen Zahlen identisch ist und zusätzlich ins negative geht, also eine bijektive Abbildung nicht möglich sein kann, das ist ebenso trivial, doch offensichtlich haben wir hier eine Patt Situation: Bauernschläue mit harter Alltagslogik vs. Mathematikerverschwörungsgruppe.
Realität gegen Mathematikerphilosophie

Beides hat pros und kontras. Meins hat das Pro, dass obige Sätze auch im Unendlichen gelten, dass die Logik wie wir sie kennen auch im Unendlichen anwendbar ist. Und, dass mein Verständnis von Unendlichkeit in der Realität beobachtbar ist. Während die Mathematiker sich eine Unendlichkeit konstruiert haben, die mit der Realität bricht und Kopfschmerzen verursacht :-)

Bis heute konnte ich Mathematiker gut leiden

Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 18:27

sorry, wenn mich das immer noch beschäftigt und ich nochmehr schreibe

Alles was ich bis jetzt gefunden hab zu dem Thema bringt mich nur zu folgendem Fazit:

DIe Mathematik hat doch einiges mehr an dem Problem versucht als ich zu anfang dachte. Sie hat soviele Axiome dazugestellt, dass Z zu N gleichmächtig ist, bzw. die zwei "gleiche Anzahl" an Elementen haben.
Da die Axiome für sich genommen nicht völlig hirnrissig sind und der Rest auch noch etwas sinn macht hat man sich einfach so damit abgefunden.
Ich bin dennoch anderer Meinung, die ich zu der Mathematikermeinung als absolut gleichwertig betrachte.

Für mich gibts doppelt soviele Z Zahlen wie N Zahlen.

Ende
Jack

Ina

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Verfasst am: 5.9.2006 um 19:48

ok, entwirf deine eigene Mengenlehre. Und informiere mich über die Abstrusitäten, die dabei herauskommen. Ich fürchte nämlich, dass man an irgendeinem Punkt immer zu solchen kommt und wenn du sie hier nicht hast, kriegst du sie woanders.

Zitat

offensichtlich haben wir hier eine Patt Situation: Bauernschläue mit harter Alltagslogik vs. Mathematikerverschwörungsgruppe.
Realität gegen Mathematikerphilosophie

*lol* im Alltag kommen einem unendliche Mengen eher selten unter.

Na ich hab die Mathe auch nur im Vorbeigehen aufgeschnappt, aber ich war mächtig beeindruckt von der Strenge und Vorsicht, mit der in der da vorgegangen wird. Man kann Axiome und Definitionen setzen (und "N und Z haben dieselbe Mächtigkeit" ist ganz sicher kein Axiom!), aber ansonsten wird nichts akzeptiert, das nur "plausibel" oder scheinbar "offensichtlich" ist, da wird keine Aussage als sicher angenommen, wenn nicht auch ihr abstrusester, seltenster Spezialfall knallhart bewiesen ist.

Du hingegen, @Jack, hast dich hier bislang eher durch Dreistigkeit ausgezeichnet, was deine "Beweise", "Offensichtlichkeiten" und "universellen Sicherheiten" angeht.

Zitat

Wie gesagt warte ich immer noch auf einen BEWEIS, dass du wirklich ALLE Z mit deiner Abbildung greifen kannst. Du hast bewiesen, dass es für jedes beliebige n oder z eine solche bijektive Abbildung gibt, aber das ist nicht was zu beweisen war. Es ist zu beweisen, dass es eine Abbildung von ALLEN Elementen aus N auf ALLE Elemente aus Z gibt.

Ich kapier dein Problem nicht.
Ich hab genau das bewiesen, was du bewiesen haben willst. Wenn ich zu jedem z ein Urbild n angeben kann, das auf dieses z abgebildet wird, kann man "wirklich ALLE z mit dieser Abbildung greifen". ALLE z haben ein Urbild.
Und dieses Urbild ist eindeutig, die Injektivität hab ich ja auch bewiesen.
Und alle Elemente von N werden sowieso abgebildet, nach Abbildungsvorschrift.
D.h. jedes n hat seinen eindeutigen "Partner" in Z, dabei werden ALLE n und alle z erfasst. Wie sichs für ne Bijektion halt gehört.
Was kannst du da sonst noch von mir wollen?

Oder hat sich der Kram jetzt durch deine Recherchen erledigt?

Ok, was anderes: stimmst du mit mir überein, dass die Gerade y=x/2 (Abbildung R-->R) eine bijektive Abbildung ist?
Das ist aber doch was ziemlich ähnliches: der "Abstand" zwischen dem x- und y-Wert wird auch immer größer, aber trotzdem wird von dem Funktionsgraphen sowohl auf der x- als auch auf der y-Achse ganz R überdeckt.

Ich verstehe schon, was du meinst, es ist mir klar, dass Z "eigentlich" doppelt so viele Elemente haben müsste wie N. Aber die Bijektion klappt halt.
Es existiert für dieses "Abzählen" eben keine Zeit. Wir haben hier nichts, das irgendwie "Zeit" sein könnte.

Jack

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Verfasst am: 5.9.2006 um 22:55

ok, ich hab schon gemerkt, dass die Mathematiker das alles nicht einfach so mal gemacht haben, sondern sich schon etwas dabei gedacht haben.

Aber du kannst meine alternative Abbildung zur selben Menge und den Satz von oben mit bijektivität von Mengen nicht einfach ignorieren. Wobei letzterer in der Mathematik wohl für alle Mengen ausser unendliche Mengen gilt. Vielleicht stört mich auch die Asymmetrie in dem Ganzen.

Hmm, das doofe ist nur, dass ich gegen den Beweis jetzt doch nix mehr sagen kann, da der schwer zu widerlegen ist, besser gesagt mit der Definition von Bijektivität eben bijektiv ist. Die Frage ist, wie handelt die Mathematik bei meiner alternativen Abbildung? Ja ich weiss schon, achselzuckend, ja und. Die Frage ist inwiefern wir behaupten können Z und N hätten die gleiche Anzahl an Elementen. Tja, das behauptet ja die Mathematik zu ihrem Glück nicht, sondern nur, dass sie gleichmächtig sind, was nach reiflicher überlegung irgendwie stimmt.

Wobei die Definition von einer Anzahl an Elementen bei unendlichen Mengen auch wenig Sinn macht :-).
Was ich aber definitiv sagen kann ist:
Ich kann jeder natürlichen Zahl zwei ganze Zahlen zuordnen ohne, dass ich dabei auch nur eine einzige natürliche Zahl vergessen würde.

Weiss nicht was ich noch sagen soll, die Mathematiker sollen tun und lassen was sie wollen, was ihnen das ganze bringt will ich nicht wissen.

Und ja Unendlichkeit begegnet mir täglich und nicht nur in der unendlichen Dämlichkeit von Mitmenschen. Schau dir die Welt an, es gibt unendlich viele Möglichkeiten wo sich jedes einzelne Atom von mir aufhalten könnte in mir ohne, dass ich davon etwas mitbekommen würde. Allein die Bewegung meiner Finger von a nach b beruht auf einer überquerung unendlich kleiner Wegelemente.

Wie ein schöner Witz geht: Ein Mathematiker und Physiker nehmen an einem Experiment teil. Vor ihnen eine sehr hübsche Frau auf einem Bett und sie sitzen auf einem Stuhl davor.
Sie werden darüber aufgeklärt, dass der stuhl jede Stunde um die hälfte der strecke zur frau weitergerückt wird. Mathematiker steht auf und geht, kann sie ja eh nie erreichen. Physiker bleibt sitzen: Experimentator: Sie wissen schon, dass sie niemals die Frau erreichen werden. Physiker: Egal, ich komm nah genug für alle praktischen Dinge.

Liebe Grüsse
Jack

...

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Verfasst am: 6.9.2006 um 03:17

Also, erstmal, @Maria, denke ich als Erzieher, dass man auch Zahlen (wie z.B. den hyperreellen) früh genug Grenzen aufzeigen sollte. Sonst fangen sie an zu nerven und man hat keine Ruhe mehr.

Und ansonsten seid ihr Euch doch einig:
Du, @Jack, betrachtest eben gar keine unendlichen Mengen, sondern nur annähernd unendliche, weil es meines Wissens in der Realität noch relativ wenig Nachweise für Unendlichkeit gibt. Das ist selbst noch beim Universum nicht vollständig geklärt, insofern eben eine Spielerei der Mathematik, die auch insofern zulässig ist, @Jack, als dass die Definition und die dazu verwendeten Axiome bei Unendlich die wenigsten Widersprüche auftreten lassen. Ich hab´mir das früher immer als Intervall vorgestellt und da war eben immer klar, dass bei einer unendlichen Menge, das Intervall offen sein muss, weil Unendlich eben nicht mehr Element der Menge ist.

Außerdem haben wir das schon mal in der Diskussion über Bildungspolitik gesagt, dass Mathematik eben auch etwas feines ist zum Chillen, da man eben vorgegeben Definitionen hat, an die man sich halten kann, was in Gesellschaftswissenschaften eben etwas komplizierter ist.

So, was mir jetzt noch unklar geblieben ist, ist, ob eine Abbildung auch bijektiv möglich ist von einer abzählbar unendlichen Menge auf eine überabzählbare unendliche Menge.
Meine Logik sagt mir erstmal, dass die Mengen auch gleichmächtig sein müssten, nämlich unendlich. Aber wie sieht da die Beweisführung auf, da das ja eine dichte Menge ist im Gegensatz zu den ganzen oder natürlichen Zahlen. Oder kann man die, solange sie gegen unendlich gehen auch als dicht bezeichnen???

Ina

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Verfasst am: 6.9.2006 um 14:44

@Jack

Zitat

Aber du kannst meine alternative Abbildung zur selben Menge und den Satz von oben mit bijektivität von Mengen nicht einfach ignorieren.

Der Satz, ist, wie du schon erkannt hast, für endliche Mengen mehr "klar", und für unendliche konntest du ihn nicht beweisen.

Und welche Abbildung meinst du? Diese Abbildung N auf Z mit
1 auf 1
2 auf 2
usw, wo die negativen Zahlen nicht erreicht werden?
Und wo du trotzdem behauptest, sie sei bijektiv?

Ich habe das aus purer Höflichkeit ignoriert.

Injektiv ist sie, aber nicht surjektiv (und damit auch nicht bijektiv), weil ja eben die negativen Zahlen nicht erreicht werden.
Sollte doch klar sein.

Sonst kann ich auch eine solche Abbildung mit N auf N konstruieren. Ich mach f(n)=2n und habe damit ganz N auf eine echte Teilmenge von N abgebildet (auf die geraden Zahlen nämlich). So kann ich nebenbei auch jeder natürlichen Zahl zwei natürliche Zahlen zuordnen (nämlich 2n und 2n-1), ohne irgendeine zu vergessen.
Nach deiner Logik müsste dann N eine andere Mächtigkeit haben als N, was natürlich Blödsinn ist.

@Arne

Zitat

So, was mir jetzt noch unklar geblieben ist, ist, ob eine Abbildung auch bijektiv möglich ist von einer abzählbar unendlichen Menge auf eine überabzählbare unendliche Menge.

Nein, das geht eben nicht, das kann man beweisen mit dem "Cantorschen Diagonalverfahren", wenn du was zum Googeln brauchst. Deshalb haben diese Mengen eben unterschiedliche Mächtigkeiten.

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